Якщо неузгодженість за фазою невелика, то контур ФАПЧ споконвічно синхронізований. Водночас іноді контур має здобувати синхронізацію, тобто його потрібно синхронізувати. Примусова синхронізація може виконуватися за допомогою зовнішніх схем чи сигналів, чи за допомогою автосинхронізації. По суті, синхронізація — це нелінійна операція й загальний її аналіз складний. Однак деякі прийнятні результати можна отримати під час розгляду вільного від шумів контуру першого порядку. Подібний контур зображений на рис. 8.2.5, де n(t) = 0 (відсутність шумів) і F(ω) = 1 (перший порядок контурного фільтра).

Рис. 8.2.5. Схема нелінійної моделі контуру ФАПЧ

Запишемо вхідну фазу φ

φ(t) = ωit

(8.2.8)

і вихідну фазу

(8.2.9)

де ω_i і ω₀ — кутова частота вхідного й вихідного сигналів, К₀ — коефіцієнт підсилення ГКН.

Отже, неузгодженість за фазою визначається таким виразом:

(8.2.10)

Диференціюючи обидві частини попереднього виразу й поклавши Δω = ω_i – ω₀, одержуємо:

(8.2.11)

Тут для простоти запису опущений аргумент (час) функції e(t). Це диференціальне рівняння описує поводження вільного від шумів контуру ФАПЧ першого порядку. Умова синхронізації записується у такий спосіб:

(8.2.12)

Рівняння (8.2.12) є необхідною, але не достатньою умовою фазової синхронізації. Це можна перевірити, вивчивши діаграму на фазовій площини (рис. 8.2.6).

Рис. 8.2.6. Зображення контуру першого порядку на фазовій площині

На рис. 8.2.6 по осі ординат зображено нормовані значення швидкості вимірювання сигналу помилки, а по осі абсцис — величина сигналу помилки. Спочатку розглянемо точку а. Якщо неузгодженість за фазою призведе до невеликого зсуву точки, що описує стан контуру, вправо або вліво від а, то від’ємний знак похідної забезпечить повернення фазової помилки e до точки а. Отже, точка а — це стійка точка системи, де можна одержати фазову синхронізацію й де ця синхронізація підтримуватиметься. Розглянемо тепер точку b. Якщо неузгодженість за фазою e перебуває точно в точці b, рівняння (8.2.12) буде задоволено. Водночас, якщо e дещо зсунеться від точки b, то додатний знак похідної обумовить подальший зсув від точки b. Отже, b — точка, де рівняння (8.2.12) задовольняється, але розв’язок не є стійким.

Час, необхідний контуру для синхронізації, є важливим параметром під час функціонування системи ФАПЧ. Вивчаючи рівняння (8.2.11), можна побачити, що вимога рівняння (8.2.12) до фазової синхронізації не може задовольнятися, якщо не виконано таку умову:

(8.2.13)

Це пояснюється тим, що максимальна амплітуда синусоїдальної функції дорівнює одиниці. Цей діапазон різниці частот –K₀ < Δω < K₀ іноді називають діапазоном синхронізації контуру. З графіка на рис. 8.2.6 видно, що для значень e, близьких до точки b, фактор, що управляє (de/dt)/K₀, буде дуже малий. Тому в найгіршому випадку фазова помилка довго перебуватиме в околі точки b. Це явище називається зависанням кінцевого циклу й може являти серйозну проблему в системах з автосинхронізацією.

Найпоширенішим методом досягнення синхронізації є примусова синхронізація — це перенесення робочої точки контуру в область фазового простору, де приблизно перебуває область синхронізації, за допомогою деякого зовнішнього напрямного сигналу. Зовнішня допомога може бути реалізована шляхом простої подачі лінійної зміни напруги на вхід ГКН. Цей напрямний сигнал призведе до того, що вихідна частота ГКН лінійно змінюватиметься в часі. Схеми з контурними фільтрами, знаменники передатних функцій яких не містять множника iω, не зможуть відстежити лінійну зміну частоти з кінцевою неузгодженістю за фазою. Отже, якщо пошук частоти має реалізовуватися на контурі першого або другого порядку без цієї особливості передавальнної функції, швидкість зміни частоти має бути досить малою, щоб після синхронізації контуру наявність синхронізації за фазою могла бути виявлена й пошуковий сигнал був вилучений до того, як він виведе контур із синхронізації. Для контуру другого порядку максимальна швидкість сканування Δω має дорівнювати величині

(8.2.14)

де σ²_φ — дисперсія фази, що визначає міру нестійкості синхронізації на виході генератора, що управляється напругою; ω_n — власна частота контуру ФАПЧ другого порядку.

Власна частота контуру ФАПЧ другого порядку пов’язана із шириною смуги контуру B_L і декрементом загасання контуру ξ співвідношенням (8.2.14)

(8.2.15)