Встановлення з’єднань між абонентами різних АТС районованої телефонної мережі здійснюється за допомогою міжстанційних з’єднувальних ліній (ЗЛ). При цьому для поліпшення використання сполучних ліній і підвищення ймовірності встановлення з’єднання сучасні системи автоматичної комутації дозволяють окрім основного шляху встановлення з’єднання (шляхи першого вибору) використовувати один або кілька обхідних шляхів (шляхи других і наступних виборів). Наприклад, на мережі, що містить чотири районних АТС, спрощену схему якої наведено на рис. 7.7.4, установлення з’єднань між абонентами, включеними в АТС А і АТС В, може виконуватися з використанням однієї із ЗЛ пучка АВ (шлях першого вибору), але якщо всі ЗЛ цього пучка зайняті, то можна використовувати обхідний шлях ACB (шлях другого вибору) із заняттям однієї із ЗЛ пучка АС і однієї із ЗЛ пучка СВ (із заняттям двох сполучних ліній, тобто по одній лінії в кожному з пучків, що становлять обхідний шлях). Якщо ж усі ЗЛ хоча б в одному з розглянутих пучків (АС або СВ) зайняті, то можна використовувати обхідний шлях третього вибору, наприклад ADB.

Рис. 7.7.4. Спрощена схема мережі з чотирьох районних АТС

Таким чином, основна частина телефонного навантаження, що надходить від абонентів АТС А до абонентів АТС В (інтенсивність навантаження що надходить у_AB), обслуговуватиметься ЗЛ пучка АВ, однак деяка частина цього навантаження в моменти зайнятості всіх ліній пучка АВ пропонуватиметься пучкам АС і СВ, що становить шлях другого вибору. Цю частину навантаження називають надлишковим навантаженням (R_AB). Отже, пучок АС має обслуговуватись як навантаження, що надходить, у_AC, так і надлишкове навантаження R_AB.

Окрім того, якщо ЗЛ пучка АС використовуються також і для встановлення з’єднань між АТС А и D (Y_AD) обхідним шляхом ACD у разі, коли всі ЗЛ пучка АD (шлях першого вибору) зайняті, тоді пучок АС обслуговуватиме навантаження, що надходить у_AC, надлишкове навантаження R_AB (частину навантаження у_AB, що не обслуговане пучком АВ), і надлишкове навантаження RAD (що залишилося від навантаження у_AD, запропонованого пучку АD).

Якщо вхідне навантаження створюється найпростішим потоком викликів, то надлишковий потік викликів матиме інший характер, його не можна описати пуасонівським розподілом і вважати найпростішим потоком. Тому для опису суміші викликів, що надходить, і надлишкових потоків телефонних викликів у тому разі, коли ті самі пучки ЗЛ обслуговують і потоки, що надходять, і надлишкові потоки, середні значення навантаження виявляються недостатніми й розрахунок кількості ліній у таких пучках не може виконуватися звичайними методами за середнім значенням.

Параметри надлишкового навантаження. Розглянемо повнодоступний пучок з V ліній, на першу лінію якого надходить потік з інтенсивністю y. Виклики, що надходять у моменти зайнятості першої лінії, пропонуються для обслуговування другій і наступній лініям пучка й утворюють надлишковий потік для першої лінії пучка. Аналогічно можна розглядати надлишковий потік для перших двох ліній пучка, що надходить на всі інші лінії, і надлишковий потік для будь-якого числа перших υ₁ ліній розглянутого пучка, що надходить, на інші V—V₁ ліній пучка.

На рис. 7.7.5 наведено повнодоступний пучок, що містить V ліній, на який надходить потік П_П, що характеризується інтенсивністю навантаження y. Надлишковий потік П_н створює інтенсивність навантаження R. Якщо вважати, що вхідний потік П_п найпростіший, то надлишковий потік П_н не буде найпростішим. Виклики цього потоку можуть з’явитися не в будь-який момент розглянутого періоду, а тільки в моменти, коли всі v ліній пучка зайняті, тобто виклики надлишкового потоку зосереджені тільки на частині розглянутого інтервалу часу, виходить, надлишковий потік більш концентрований. За однаковим навантаженням надлишковий потік вимагає більше ліній для свого обслуговування, ніж найпростіший потік.

Для характеристики статистичних (випадкових) коливань надлишкового потоку крім інтенсивності навантаження, тобто середньої величини (першого моменту випадкової величини), використовують також дисперсію σ² (другий момент). Нерівномірність надлишкового потоку характеризується найчастіше відношенням дисперсії до середнього значення навантаження — коефіцієнтом скупченості

Рис. 7.7.5. Схема повнодоступного пучка

(7.7.31)

або коефіцієнтом розсіювання

D = σ2 – R,

(7.7.32)

що являє собою різницю між дисперсією й середнім значенням навантаження.

Якщо врахувати, що для найпростішого потоку дисперсія σ² дорівнює середньому значенню R, то зазначені коефіцієнти дорівнюватимуть: z = 1, D = 0. Щодо вирівняних потоків z < 1, a D від’ємне; щодо надлишкових потоків z > 1 та D > 0.

Таким чином, процес обслуговування вхідного потоку повнодоступним пучком, що складається з υ ліній, характеризується чотирма величинами: y, V, R та D.

Потік, що надходить, передбачається найпростішим, описується одним параметром — середнім значенням навантаження, оскільки коефіцієнт розсіювання для найпростішого потоку D = 0. Надлишковий потік характеризується двома параметрами — середнім значенням надлишкового навантаження R і коефіцієнтом розсіювання D > 0. Повнодоступний пучок характеризується однією величиною — числом ліній V.

Значення інтенсивності надлишкового навантаження можна розрахувати за формулою Ерланга:

R = y·p = y·E0(y) = f(y, V),

(7.7.33)

а для коефіцієнта розсіювання надлишкового навантаження справедливий такий вираз:

(7.7.34)

У формулах (7.7.33) і (7.7.34) кожна пара параметрів y, V, R та D визначає два інших. Якщо на той самий пучок надходить декілька статистично незалежних друг від друга потоків із середніми значеннями надлишкового навантаження R₁, R₂, ..., R_k і коефіцієнтами розсіювання D₁, D₂, ..., D_k, то середнє значення навантаження й коефіцієнт розсіювання об’єднаного потоку дорівнюють сумі відповідних параметрів цих потоків:

R = R1 + R2 + ... + Rk

(7.7.35)

D = D1 + D2 + ... + Dk

(7.7.36)

Статистично незалежними потоками можна вважати надлишкові потоки від різних пучків ліній, на кожний з яких надходить найпростіший потік від окремої групи джерел навантаження. Прикладами статистично залежних потоків можуть служити вхідні і надлишкові потоки того самого пучка ліній або надлишкові потоки, виклики яких хоча б частково обслуговувалися тими самими лініями.

Метод еквівалентних замін. Розглянемо метод розрахунку числа ліній у повнодоступному пучку, на якому надходить надлишковий потік П_н, що характеризується середнім значенням навантаження R і коефіцієнтом розсіювання D > 0 (рис. 7.7.6).

Надлишковий потік П_н міг утворитися підсумовуванням декількох надлишкових і найпростіших потоків, і при визначенні його параметрів R і D у разі їх статистичної незалежності можна використовувати формули (7.7.35) та (7.7.36).

Розрахунок повнодоступного пучка за рис. 7.7.6, a полягає у визначенні числа ліній, якщо задані характеристики потоку R, D та зазначена припустима ймовірність втрат p або втрачене навантаження у_П, що характеризують потік втрачених викликів П_в.

Основна ідея методу еквівалентних замін полягає в тому, що потік, що надходить, П_н з параметрами R і D заміняється потоком, що пройшов v1 ліній попереднього повнодоступного пучка (рис. 7.7.6, б) і які мають такі самі характеристики, R і D.

Рис. 7.7.6. Схема, що пояснює метод еквівалентних замін

Користуючись співвідношеннями (7.7.35) та (7.7.36), за заданими величинами R та D (рис. 7.7.6, б) можна визначити інтенсивність вхідного навантаження y найпростішого потоку викликів і число лінії V₁ у попередньому повнодоступному пучку. З іншого боку, попередній і розрахунковий пучки становлять один загальний повнодоступний пучок ліній, для якого відома інтенсивність вхідного навантаження y найпростішого потоку й задана ймовірність втрат p або втрачене навантаження y_п. Тому, користуючись першою формулою Ерланга, можна визначити сумарне число ліній у повнодоступному пучку, що обслуговує навантаження у із втратами р, тобто визначити суму V_Σ = V₁ + V. Звідси шукане число ліній, у розрахунковому повнодоступному пучку V = V_Σ – V₁.

Число ліній V₁ може бути дробовим, і його слід використовувати в такому вигляді до одержання результатів для V. Значення V доцільно округлити до цілого числа у бік збільшення.