Система із втратами (з відмовами) приймає вимоги на обслуговування тільки за наявності вільних каналів. Вимога, що надійшла в момент часу, коли всі v канали зайняті, негайно отримує відмову, залишає систему й надалі в процесі обслуговування не бере участь. Це означає, що система характеризується кінцевим числом рівнянь, що відповідають станам s₀, s₁, ..., s_v. У співвідношенні для системи з відмовами, якщо спрямувати до нуля середній час очікування, тобто покласти

Цей вираз можна перетворити до вигляду, зручного для обчислень при більших i, якщо використовувати наближену формулу:

Цей вираз називають формулою Ерланга, що вперше досліджував систему з відмовами стосовно телефонного зв’язку. Поклавши i = V (всі канали зайняті), отримуємо ймовірність відмови

Пропускна здатність повнодоступного пучка при обслуговуванні найпростішого потоку викликів із втратами визначається часом зайняття всіх ліній пучка за досліджуваний проміжок часу, або втратами за часом p_t.

Імовірність втрат за часом p_t визначається відношенням часу зайняття всіх v ліній до досліджуваного інтервалу часу, тобто ймовірністю зайняття всіх ліній v за досліджуваний інтервал часу. Імовірність зайняття всіх ліній v визначається першою формулою Ерланга, отже, маємо p_t = p_V, тобто

Для будь-якого стаціонарного потоку завжди має місце нерівність

μ ≥ λ.

Для ординарного стаціонарного потоку

μ = λ.

Число викликів найпростішого потоку, що надходять за середній час одного зайняття (ум. од. часу), чисельно дорівнює інтенсивності вхідного навантаження, вираженого в ерлангах, тобто для найпростішого потоку справедлива чисельна тотожність λ = Y.

Повнодоступний пучок із втратами — найбільш відома система, що існує при розподілі інформації, особливо у сфері телефонії, і перша формула Ерланга найчастіше використовується в інженерних розрахунках у вигляді:

(7.6.1)

де p_V — імовірність зайняття v ліній, що обслуговують найпростіший потік викликів одноланковою повнодоступною комутаційною системою з відмовами; Y — інтенсивність вхідного навантаження в комутаційну систему.

Перша формула Ерланга має символічний запис — p_V = E_V(Y). До формули входять три параметри p_v, V та Y, тому можливі три варіанти символічного запису:

• p = E_V(Y);
• V = E_Y(p_V);
• Y = E_p(V).

Перші два варіанти формули мають відношення до завдань аналізу, а третя — до завдання синтезу. Під час розв’язання завдання синтезу визначається структура комутаційної системи, тобто число її виходів при заданих втратах викликів p і величині вхідного навантаження Y.

Два перші завдання розв’язуються в тому разі, коли необхідно проаналізувати, як зміняться втрати викликів, якщо зміниться навантаження при незмінній структурі комутаційної системи, або за рахунок чого зросли втрати викликів, якщо структура комутаційної системи не змінювалася. Розглянемо кілька прикладів використання першої формули Ерланга.

Приклад 7.1. При обслуговуванні з явними втратами й імовірністю втрат по викликах p_в ≤ 1 %, визначити кількість ліній (приладів) одноланкового повнодоступного включення, якщо потік телефонних викликів від N = 100 джерел навантаження має в ГНН інтенсивність λ = 180 викл/год, середній час обслуговування одного зайняття становить t = 100 с. Обчислити навантаження, обслужене цим повнодоступним включенням.

Розв’язання. Оскільки телефонні виклики надходять випадково та чисельність джерел, що створюють виклики, N = 100, можна припустити, що характеристики потоку викликів близькі до характеристик найпростішого потоку викликів. Тому при розв’язанні завдання можна використовувати модель найпростішого потоку з параметром λ = 180 викл/год (або середнє число викликів = λ/N = 1,8 викл/год від одного джерела викликів). Приймаючи середній час одного зайняття t = 100 с за умовну одиницю часу, маємо Y = 100 × 1,8 × (100/3600) = 5 Ерл.

Обслуговуванню найпростішого потоку одноланковою повнодоступною комутаційною схемою у режимі з явними втратами відповідає модель, що розраховується за першою формулою Ерланга. З огляду на те, що ймовірність втрат по викликах p_в = p_t = p_Y = p, і підставляючи значення p = 0,010 і Y = 5 Ерл у (7.6.1), одержимо

або в символічному вигляді 0,010 E_V(5).

Для розрахунків використовуємо систему прикладних програм MathCAD, одержимо:

Виконано програмою MathCAD

Y = 5, p = 0,01, V = 8...15

V	PV	V	PV	V	PV
0 1 2 3	1,000 0,833 0,676 0,530	4 5 6 7	0,398 0,285 0,192 0,121	8 9 10 11	0,070 0,037 0,018 8,287e-3

Оскільки при V = 5 втрати становлять p′ = E₁₀(5) = 0,018385, а при V″ = 11 вони дорівнюють p″ = E₁₁(5) = 0,008287, то відповідно до умов знадобиться V = 11 приладів. Визначимо обслужене навантаження Ерл.

Y₀ = Y(1 – P_V) = Y[1 – E_V(Y)] = 5[1 – E₁₁(5)] = 4,96 Ерл.

Приклад 7.2. Для системи розподілу інформації, наведеної в прикладі 7.1, з’ясувалося, що для 25 джерел навантаження середній час обслуговування одного зайняття збільшився до t = 400 с. Якими будуть втрати викликів, якщо цей потік викликів обслуговуватиме пучок з 11 ліній?

Розв’язання. Оскільки, при попередньому числі викликів c = λ/N викл./год, частина джерел навантаження збільшила тривалість зайнять, визначимо інтенсивність навантаження при середньому часі одного зайняття t = 100 c для 75 джерел та t = 100 c — для 25 джерел.

Отже, інтенсивність навантаження складає

Y = 75 × 1,8 × (100/3600) + 25 × 1,8 × (400/3600) = 8,75 Ерл,

а втрати викликів при навантаженні Y = 8,75 Ерл на 11 лініях.

Такі втрати неприпустимі для умов прикладу 7.1, тому визначимо ємність пучка ліній, щоб інтенсивність навантаження при Y = 8,75 Ерл була обслужена з колишньою якістю (p_в = 1 %). Одержимо

Виконано програмою MathCAD

Y = 8,75, p = 0,01, V = 11...16

p1 = 0,111 = 11,1 %

V	PV	V	PV
11	0,11055	14	0,0290145
12	0,0745992	15	0,0166434
13	0,0478104	16	0,00901978

При втратах, які дорівнюють р = E₁₆(5) = 0,009019, що відповідає умовам, визначимо обслужене навантаження

Y₀ = Y(1 – P_V) = Y[1 – E_V] = 8,75[1 – E₁₆(8,75)] = 8,671 Ерл.