Припустимо, що повнодоступний пучок ємністю V ліній обслуговує найпростіший потік викликів. Час обслуговування одного виклику — випадкова показово-розподілена величина P(ξ < t) = 1 – e^–t/h із середнім значенням h, прийнятим за одиницю часу. Тому для параметра найпростішого потоку прийнята розмірність: число викликів за умовну одиницю часу. При зайнятості всіх V ліній вхідні виклики ставлять у чергу, де вони чекають обслуговування [є m місць очікування (1 ≤ m ≤ ∞)], що виконується в міру звільнення ліній повнодоступного пучка. Щоб усі виклики дочекалися обслуговування, на величину параметра накладається обмеження λ < V. Інакше, при V постійно будуть зайняті всі V ліній і черга викликів, що не обслуговувані, прогресивно зростатиме.

Позначимо ймовірність стану моделі, при якому в момент t перебувають на обслуговуванні й очікують у черзі і викликів (0 ≤ i ≤ V + m) через P_i(t). Встановлюється стан статистичної рівноваги й імовірності P_i(t) прагнуть до постійної межі P_i й не залежать від початкового розподілу P_i(0). Розподіл цих ймовірностей визначається другим рівнянням Ерланга.

(7.6.9)

де

Визначимо для розглянутої моделі основні характеристики якості обслуговування. Очікування обслуговування може виникати тільки у разі зайнятості всіх V ліній повнодоступного включення. Тому ймовірність очікування P_(>0) для виклику, що надійшов

З урахуванням значень P_i, обумовлених з (7.6.9), і властивостей суми членів нескінченної спадної геометричної прогресії

(7.6.10)

оскільки, маємо

(7.6.11)

Цей вираз називається другою формулою Ерланга. Якщо чисельник та знаменник формули (7.6.11) розділити на то після нескладних перетворень можна отримати зручнішу для практичних розрахунків формулу

(7.6.12)

Імовірність умовних втрат P(γ > t) визначається дисципліною черги за умов упорядкованої й неупорядкованої черги. При впорядкованій черзі виклики обслуговуються в порядку їхнього надходження. При невпорядкованій черзі діє випадковий вибір на обслуговування (всі виклики мають однакову ймовірність бути обраними на обслуговування). Імовірність умовних втрат (тобто ймовірність очікування обслуговування більша за припустимий час) при впорядкованій черзі визначається з рівняння

P(γ > t) = P(γ > 0)e–(V – λ)t,

(7.6.13)

де P(γ > t) — імовірність, обумовлена з рівняння (7.6.12), а t — припустимий час очікування, представлений в умовних одиницях часу.

При неврегульованій черзі ймовірність P(γ > t) залежить не тільки від числа очікуючих викликів у момент надходження даного виклику, але й від кількості викликів, що надходять потім протягом часу очікування, що приводить до громіздких аналітичних виразів (7.6.13). На рис. 7.6.3 приведені для порівняння криві розподілу на часі очікування викликів при упорядкованій і неупорядкованій чергах. Середній час очікування обслуговування не залежить від дисципліни черги і в умовних одиницях часу визначається з виразів:

(7.6.14)

Рис. 7.6.3. Розподіл часу очікування: P_(>1) в упорядкованій (крива 1) і неупорядкованій (крива 2) чергах при експоненціальному розподілі тривалості обслуговування

Приклад 7.4. Визначити співвідношення втрат у повнодоступних пучках ємністю V = 50 і 100 ліній, що працюють за системою з очікуванням при показовому розподілі тривалості зайняття й за системою із втратами при заданому значенні втрат E_V(γ) = 0,02. Розрахувати час очікування будь-якого виклику середній час очікування викликів, що перебувають у черзі, .

Розв’язання. За таблицями першої формули Ерланга при заданих величинах V = 50 і 100 і E_V(γ) = 0,02 відшукуємо значення вхідного навантаження y: при V₁ = 50 γ₁ = 40,2 Ерл; при V₂ = 100 γ₂ = 88 Ерл.

Використовуючи і отримані значення y, розраховуємо умовні втрати p(γ > 0)

для V₁ = 50

для V₂ = 100

Співвідношення між втратами становлять:

для

для

Для визначення скористаємося формулою (7.6.10), для — (7.6.14) та для — (7.6.13):

Наведене завдання показує, що:

• дисципліна обслуговування за системою з очікуванням приводить до умовних втрат, які в кілька разів перевищують явні втрати, що мають місце при дисципліні обслуговування за системою із втратами;
• із збільшенням ємності пучка ліній за інших однакових умов підвищується відношення і погіршуються показники якості роботи системи – і .