У системах передачі дискретних сигналів кожному i-му повідомленню ставиться в однозначну відповідність сигнал U_i(t) з певної кінцевої безлічі сигналів. Для побудови цієї безлічі системі передачі виділяється смуга частот F і час T, обумовлений швидкістю передачі Таким чином, для формування сигналів на частотно-часовій площині виділяється область, що обмежена прямокутником зі сторонами F і T.

Для формування широкосмугових (складних) сигналів може використовуватися як уся область, так й її частина. Добуток F_cT_c є базою сигналу B_c = F_cT_c, значення якої B_c > > 1. Іноді ШСС називають складними сигналами на відміну від простих з базою сигналу, що дорівнює одиниці, тобто B_c = 1.

У системах зв’язку зі ШСС ширина спектра F_c завжди набагато більша ширини спектра початкового сигналу. Зазвичай база ШСС досягає значень декількох сотень або навіть тисяч. Тому такі системи називають системами з розширеним спектром.

У загальному випадку складний сигнал можна подати у вигляді безлічі елементарних простих сигналів із тривалістю T₀ кожний і зсунутих за частотою на величину, кратну (рис. 5.7.3).

Рис. 5.7.3. Геометричне зображення ШСС

З рис. 5.7.3 видно, що інформаційний біт (розряд) розділений на 7 інтервалів тривалістю T₀ кожний. Значення кожного з інтервалів (чипів) передається на «своїй» частоті (на рис. 5.7.1 їхні значення: 4F₀; 6F₀; 2F₀; 5F₀; 8F₀; 1F₀ і 3F₀ відповідно).

Кожний з елементарних сигналів з амплітудою А, розташований у k-й часовій смузі й m-ї частотою U_km можна записати у вигляді

Співвідношення для складного сигналу, що складається з декількох елементарних, можна подати у вигляді:

де a_km дорівнює 0 або 1; N і M — кількість часових і частотних інтервалів відповідно на частотно-часовій площині (частотно-часовій матриці).

Підставивши співвідношення для U_km(t) у співвідношення для U(t) отримаємо:

Зміна індексів k і m означає зсув елементарного сигналу в часі на kT₀ і за частотою на mF₀. Наприклад,

U₂₃(t) = Av(t – 2T₀)cos(2 π3F₀t).

За характером розподілу енергії на частотно-часовій площині сигнали поділяються на часові, частотні й частотно-часові.

Часові сигнали (сигнали із прямим розширенням спектра) не мають модуляції за частотою, тому a_km = 0 для всіх m ≠ μ. Тоді складний часовий сигнал (ЧС-сигнал) можна записати в такому вигляді:

Умовний розподіл енергії ЧС-сигналу на частотно-часовій площині подано на рис. 5.7.4.

Рис. 5.7.4. Геометричне зображення складного часового сигналу

База кодування ЧС-сигналу має вигляд:

B_чс = F_cT_c = F₀NT₀ = N.

Частотні сигнали (сигнали зі стрибкоподібною перебудовою частоти) не мають модуляції в часі, тому a_km = 0 для всіх k ≠ λ.

Тоді складний частотний сигнал (Ч-сигнал) можна записати у вигляді:

Умовний розподіл енергії Ч-сигналу на частотно-часовій площині наведено на рис. 5.7.5.

Рис. 5.7.5. Геометричне зображення складного частотного сигналу

База кодування складного Ч-сигналу

B_ч = F_cT₀ = MF₀T₀ = M.

Частотно-часові сигнали (ЧЧ) мають модуляцію як за частотою, так і в часі, тому співвідношення для складного ЧЧ-сигналу має вигляд

Геометрична інтерпретація цього сигналу являє собою частотно-часову матрицю (рис. 5.7.6).

База кодування ЧЧ-сигналу

B_чч = F_cT_c = MF₀NT₀ = MN.

тобто вона дорівнює загальному числу елементів, з яких складається складний сигнал.

Рис. 5.7.6. Геометричне зображення складного частотно-часового сигналу

Порівнювати системи складних сигналів необхідно при однакових базах кодування й обсягах (кількості елементів) сигналів. Для забезпечення рівності баз сигналів B_чc = B_ч = B_чч необхідно для ЧС-сигналів збільшити F₀ у M разів, для Ч-сигналів збільшити T₀ у N разів. Ця умова приводить до того, що зі всіх можливих сигналів вибираються лише ті, які мають однакову енергію. Наприклад, якщо складний сигнал має N часових інтервалів (розрядів), то для формування систем складних сигналів необхідно вибирати лише ті, які мають однакове число «1» і «0».

У зв’язку з тим, що в широкосмугових системах (системах з кодовим поділом каналів) абоненти працюють одночасно у всій виділеній смузі частот, то виникають взаємні (структурні) перешкоди. Рівень цих перешкод тим вищий, чим більша кількість абонентів працює одночасно.

Найважливішою вимогою при виборі системи складних сигналів є їх однакова завадостійкість при однаковій енергетиці. Для забезпечення однакової завадостійкості стосовно взаємних (структурних) перешкод необхідно, щоб використовувані адресні (абонентські) складні сигнали мали однакові взаємно кореляційні властивості.

Взаємно кореляційні властивості сигналів характеризуються взаємно кореляційною функцією (ВКФ) — R_ij(ST₀) Множина (сукупність) сигналів певного виду (структури) із ВКФ, що не перевершує за модулем певне максимальне значення, тобто

являє собою систему сигналів, а число сигналів, що відповідають зазначеній умові, називають обсягом системи сигналів.

Таким чином, система сигналів характеризується обсягом, ВКФ (R) і базою сигналу (B_c).

Для i-го й j-го сигналів ВКФ визначається співвідношенням

При порівнянні систем складних сигналів кращою з погляду завадостійкості стосовно структурних перешкод є та, котра забезпечує найменше з можливих максимальних значень ВКФ, тобто R_max.

Співвідношення, що визначає ВКФ i-го й j-го частотно-часових сигналів у дискретних точках, має вигляд:

Для циклічного зсуву сигналу U_k(t) на дискретний інтервал τ = ST₀ необхідно визначати індекс (k + S) за модулем цілого числа T_c/T₀. З наведеного співвідношення випливає, що значення R_ij(ST₀) пропорційне числу елементів i-го й циклічно зсунутого на τ = ST₀ j-го сигналу, що збігаються за частотою й за часом:

де dist_s(i, j) — хеммінгова відстань між i-м і циклічно зсунутим на τ = ST₀ j-м сигналами (кількість незбіжних за частотою й за часом елементів цих сигналів). Відповідно до цього співвідношення максимум модуля ВКФ:

де N — кількість часових інтервалів (розрядів); d_min — кодова відстань обраного часового коду.

З аналізу співвідношення для R_чч випливає, що, по-перше, при збільшенні надмірності (при збільшенні кодової відстані d_min) при незмінному числі часових інтервалів N величина ВКФ (R_чч) зменшується. Зі збільшенням же N при незмінній величині d_min величина ВКФ зростає. По-друге, аналіз свідчить, що синтез складних ЧЧ-сигналів полягає в побудові кодів, інваріантних до циклічного зсуву. Системі ЧЧ-сигналів відповідає код, що зберігає мінімальну кодову відстань при будь-яких циклічних зсувах.

Співвідношення для ВКФ часових сигналів (ШСС із прямим розширенням спектра) має вигляд:

При амплітудній модуляції (АМ) елементів ШСС коефіцієнти a_iμk й a_jμk набувають значення 0 або 1.

У цьому разі ВКФ і максимум її модуля визначаються тими самими співвідношеннями, що й для ЧЧ-сигналів:

Системою часових АМ-сигналів є код, що зберігає мінімальну кодову відстань d_min при будь-яких циклічних зсувах.

При фазовій модуляції елементів ШСС коефіцієнти a_iμk й a_jμk набувають значення 1 або –1. Тоді зі співвідношення для ВКФ Ч-сигналів випливає, що R_ij(ST₀) пропорційна різниці між кількістю співпадаючих й елементів, що розрізняються за фазою елементів i-го й циклічно зсунутого j-го сигналів:

де dist_s(ST₀) — кількість елементів, що розрізняються за фазою, i-го й на τ = ST₀ циклічно зсунутого j-го сигналів (хемміногова відстань між цими сигналами). При цьому максимум модуля ВКФ:

де {a, b} — найбільша з величин a й b.

Значення цих величин передбачається додатними, оскільки в коді, як правило, d_min < N/2, d_max > N/2.

Таким чином, системою Ч-сигналів є код, що зберігає при будь-яких циклічних зсувах як максимальну, так і мінімальну кодову відстань.

Для частотних (Ч) сигналів співвідношення для ВКФ має вигляд:

Звідси випливає, що ВКФ дорівнює нулю при всіх часових інтервалах, окрім нульового, між i-м й j-м сигналами. Максимальне значення ВКФ досягається тільки в точці S = 0 (τ = 0). Тому властивість кодів зберігати мінімальну або максимальну кодову відстань при будь-яких циклічних зсувах тут не потрібна. Для системи Ч-сигналів може бути використаний будь-який код.

Методика побудови системи складних сигналів полягає в такому.

1. Необхідно вибрати метод модуляції, що визначає вид сигналу (ЧС, Ч або ЧЧ).
2. При заданій кількості абонентів N_a і наявної сукупності сигналів ( N_чс, N_ч, N_чч) необхідно вибрати N_a < N_i складних сигналів і визначити для кожної пари сигналів ВКФ.
3. Вибрати ті сигнали для системи складних сигналів, які задовольняють умові

Отже, можна зробити висновок про те, що для отримання виграшу у якості зв’язку при використанні кожного зі способів кореляційної обробки необхідно, щоб ансамбль сигналів мав добрі автокореляційні властивості. Бажано, щоб сигнали мали єдиний автокореляційний пік, інакше можлива помилкова синхронізація по бічному пелюстку автокореляційної функції (АКФ). Важливо, що чим ширший спектр випромінюваних сигналів, тим вужчий центральний пік (основна пелюстка) АКФ. Пари кодових послідовностей добираються так, щоб взаємна кореляційна функція (ВКФ) мала мінімальне значення при їхній попарній кореляції. Це гарантує мінімальний рівень взаємних перешкод.

Отже, вибір оптимального ансамблю сигналів у CDMA полягає в пошуку такої структури кодових послідовностей, у якій центральний пік АКФ має найбільший рівень, а бічні пелюстки АКФ і максимальні викиди ВКФ по можливості мінімальні.